Analysis 2 by Oliver Deiser

By Oliver Deiser

Speziell für Lehramtsstudierende der Mathematik an Gymnasien Verständliche Darstellung bei systematischem Aufbau und vollständigen Beweisen
Ergänzungssektionen zur Vernetzung von Schulwissen und universitären Themen
Auch als Begleittext für Lehramtsstudierende geeignet, die eine Fachvorlesung besuchen​

Die bis zur Differentiation in einer Variablen reichende Darstellung des ersten Bandes wird in diesem Buch um eine ausführliche Behandlung der Integration, topologischer Grundbegriffe und der mehrdimensionalen Differentiation erweitert. Zudem werden Fourier-Reihen, gewöhnliche Differentialgleichungen und die mehrdimensionale Integration im Überblick vorgestellt. Zahlreiche Aufgaben, Ergänzungen und Ausblicke festigen und vertiefen das Wissen und regen eigenständige Erkundungen der vielfältigen Gebiete der research an.

Das zweibändige Werk wendet sich speziell an Studenten des Lehramts Mathematik an Gymnasien sowie an Lehrer. Selbstverständlich ist es auch für Fachstudenten geeignet.

Content point » reduce undergraduate

Stichwörter » research - Differentialrechnung - Infinitesimalrechnung - Lehramt - Reelle Analysis

Verwandte Fachbereiche » Mathematik

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Example text

Im Hinblick auf die Riemann-Jordan-Länge gilt: Ist P ⊆ [ a, b ] eine Menge mit b L(P) = ͐a 1P (x) dx = 0, so ist P auch eine Lebesgue-Nullmenge. Dagegen ist 1P im Allgemeinen nicht Riemann-integrierbar auf [ a, b ], wenn P ⊆ [ a, b ] eine Lebesgue-Nullmenge ist. Es gilt der ebenso beeindruckende wie nützliche Charakterisierungssatz: Satz (Integrierbarkeitskriterium von Lebesgue) Sei f : [ a, b ] → ‫ ޒ‬beschränkt. Dann sind äquivalent: (a) f ist Riemann-integrierbar. (b) P = { x ∈ [ a, b ] | f ist unstetig in x } hat das Lebesgue-Maß Null.

Eine Teilmenge P der Ebene kann aber eine sehr komplizierte Punktwolke 26 1. Abschnitt Integration sein, und im Allgemeinen lässt sich die Messung von P nicht mehr auf durch Funktionsgraphen gegebene Teilflächen zurückführen. Damit scheint das allgemeine maßtheoretische Problem zunächst den Rahmen der Integration zu sprengen. Mittelfristig ist dies aber nicht der Fall. Sobald wir nämlich einen zweidimensionalen Integralbegriff zur Verfügung haben (vgl. Abschnitt 6), können wir die Fläche einer Teilmenge P ⊆ [a, b]2 der Ebene im Fall der Existenz als das Integral der Indikatorfunktion 1P von P auf [ a, b ]2 definieren, also der Funktion 1P : [ a, b ] 2 → ‫ ޒ‬mit ⎧ ⎭ 1, falls (x, y) ∈ P, 1P (x, y) = ⎫ ⎩ 0 sonst.

Damit ist auch gezeigt, dass die Abänderung einer integrierbaren Funktion an abzählbar vielen Stellen aus der Menge der integrierbaren Funktionen herausführen kann. Weitere Beispiele für nichtintegrierbare Funktionen werden wir in den Übungen und im zweiten Abschnitt kennenlernen. 2. Untersuchung des Integrals 49 Ausblick: Zur Charakterisierung der Riemann-Integrierbarkeit Wir haben gesehen, dass viele, aber nicht alle Funktionen f : [ a, b ] → ‫ ޒ‬integrierbar sind. Im Gegensatz zum Regelintegral haben wir jedoch noch kein griffiges Kriterium für die Integrierbarkeit erkennen können.

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