Analysis 2, Edition: 4., durchges. u. erg. Aufl. by Wolfgang Walter (auth.)

By Wolfgang Walter (auth.)

Hauptthema dieses zweiten Bandes ist die Differential- und Integralrechnung f?r Funktionen von mehreren Ver?nderlichen. Dabei wird auch das Lebesguesche necessary im Rn behandelt. Dem erfolgreichen Konzept von Analysis 1 folgend, wird viel Wert auf historische Zusammenh?nge, Ausblicke und die Entwicklung der research gelegt. Zu den Besonderheiten, die ?ber den kanonischen Stoff des zweiten Semesters hinausgehen, geh?ren das Morsesche und das Sardsche Lemma, die C?-Approximation von Funktionen (Mollifiers) und die Theorie der absolutstetigen Funktionen. Zahlreiche Beispiele, ?bungsaufgaben und Anwendungen, z.B. aus der Physik und Astronomie, runden dieses Lehrbuch ab.

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Iyl fUr X,YEX, so wird X eine normierte Algebra bzw. eine Banachalgebra genannt. 8 eingefUhrten Rliume B(D) und C(l) sind kommutative Banachalgebren. (b) Die quadratischen n x n-Matrizen bilden (mit der Matrizenmultiplikation) eine Algebra. Versieht man sie mit der Euklidnorm IAI = (LiJ a~J) 1/2, so entsteht eine Banachalgebra. (c) Es sei H, (r > 0) die Menge aller Funktionen u: [-r,r] - R, welche eine fUr x = r absolut konvergente Potenzreihenentwicklung u(x) = Ukxk (Uk E R) besitzen. o L IUklrk 00 lIulI, = k=O eine Norm auf H, definiert ist und daB H, eine Banachalgebra ist (man beachte, daB die Endlichkeit der Norm vorausgesetzt ist und daB sich daraus die gleichmliBige Konvergenz der Reihe fUr Ixl ~ r ergibt).

2. h. B(D) ist ein Banachraum. Beispiele. 1. 1m Fall D = N haben wir den Banaehraum Folgen x = (Xj)'fr=o mit der Maximumnorm [00 aller besehrankten reellen Ilxll", = sup {Ixjl : j EN} . Ubrigens erhalt man fUr D = {l, ... 7 eingefUhrten Maximumnorm. 2. Wir wissen aus § lA, daB die Menge K aller konvergenten Folgen und die Menge N aller Nullfolgen Untervektorraume von 100 bilden und daB N eKe 100 gilt. Diese Unterraume werden dureh die Maximumnorm normiert. In beiden Fallen handelt es sieh urn Banaehraume.

Es sei K eine abgeschlossene, konvexe Menge. Man nennt eine (Hyper-)Ebene H : (x, c) = ex, welche einen Randpunkt z von K enthalt und die Eigenschaft hat, daB K ganz auf einer Seite von H liegt - also (x, c) :s; ex oder ~ ex fUr alle x E K - eine Stiitzebene (Stiitzhyperebene) von K, welche K im Punkt z "stiitzt". Wir wollen die Existenz von Stiitzebenen nachweisen. Dazu sei Y f/. K ein beliebiger Punkt. 17 gibt es ein z E K mit d(y , K) = Iy - zl. Wir zeigen, daB die Ebene H : (x, c) = ex mit c = Y - z und ex = (z, c) § 1.

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